效应量及其方差的计算

第 1 章给每项研究算了一个 RR，把 13 项的结果摆在桌面上。第 2 章讲了 13 项试验是怎么被筛进 meta 分析的。从本章起进入”动手合并”前的最后准备：每项研究不仅要有一个效应量数字，还要带上一个不确定性数字（方差）。第 4 章固定效应模型按方差倒数加权时，需要的就是这两件东西。

本章把”动手合并”前需要的术语补齐：log RR 与方差（第 4 章会直接用），OR 与 RD 作为 RR 的两个亲戚（不同研究有时报告不同效应量）。

3.1 对数风险比 log RR

第 1 章的 RR 用起来很顺，但有一个数学上的别扭。“风险降一半”对应 RR $= 0.5$，“风险翻倍”对应 RR $= 2$。直觉上这两个效应”大小相等、方向相反”，可在原始数轴上 0.5 离 1 有 0.5 的距离，2 离 1 有 1 的距离，远远不对称。如果你把若干研究的 RR 排在数轴上，“保护”和”有害”两边的视觉重量是不一样的。

解决办法是给 RR 取自然对数。原数轴上 0.5 和 2 不对称，取对数后变成 $\ln(0.5) = -0.69$ 和 $\ln(2) = +0.69$，正负完全对称。原数轴上 0.25 和 4 不对称，取对数后变成 $-1.39$ 和 $+1.39$，也对称起来。“保护一半”和”风险翻倍”在数轴上就是镜像。

对数尺度还有第二个好处。统计学里有一条经验：一个量是若干小因素相乘得到的（如风险比是事件率的比值），它在原始尺度上分布偏斜，取对数之后近似对称、近似正态。后续合并、计算置信区间都依赖正态近似，必须在对数尺度上做才合法。

回到 Aronson 1948。第 1 章算出 $\mathrm{RR} = 0.41$，取对数得到 $\mathrm{log\ RR} = \ln(0.41) = -0.89$。第 4 章要合并 13 项 $\mathrm{log\ RR}$ 而不是 13 项 $\mathrm{RR}$。

3.2 log RR 的方差

每项研究给出的 $\mathrm{log\ RR}$ 都是一个估计，估计就有不确定性。这种不确定性怎么衡量？

用一个完全不需要医学背景的例子建立直觉：抛一枚均匀硬币，正面概率是 0.5。抛 10 次，你看到 6 次正面（比例 0.6）不算意外；甚至看到 4 次或 7 次都很常见。再抛 1000 次，正面比例几乎一定在 0.48 到 0.52 之间，你看到 0.6 就会怀疑硬币不均匀。同样是估计”正面概率 $= 0.5$“这个事实，10 次的估计”晃”得很厉害，1000 次的估计稳得多。

方差是这种”晃动幅度”的数学度量。方差越小说明估计越稳，方差越大说明估计越晃。对一个估计的 $\mathrm{log\ RR}$ 来说，统计推导给出的方差近似公式是 2x2 表四个格子的部分倒数和。

把 Aronson 1948 代入：$a = 4, b = 119, c = 11, d = 128$，

四个分项保留三位小数累加得 0.326，与 metafor 用 escalc() 跑出的高精度结果 0.3256 一致。

决定方差大小的不是总样本量，是事件数。

一项研究招了 10 万人但 BCG 组只发生 1 例结核、对照组也只 2 例，方差仍然很大，因为四个分项里有两个分母极小。这是临床流行病学常踩的坑：动辄几十万人的大样本研究在罕见结局上仍可能统计精度很差。

3.3 比值比 OR 与对数比值比

二分类结局除了 RR，还有一种常用效应量叫比值比（odds ratio，简称 OR）。理解 OR 之前先理解比值（odds）本身。

日常语言里”概率”和”比值”经常混用，但它们是两个不同的量。100 个人去做体检，5 个人查出胃部不适。“概率”是 $5 / 100 = 5\%$ —— 查出不适的人占总人数的比例。“比值”是 $5 / 95$ —— 查出不适的人对没查出的人。比值没有上限，因为分母可以任意小。事件率低时，5/95 与 5/100 非常接近；事件率高时，比如 50 个查出不适，比值 $50 / 50 = 1$，概率 50%，二者拉开差距。

OR 就是两组比值的比。继续吃辣的例子：100 个吃辣的人 5 个胃疼（吃辣组的 odds = 5/95），100 个不吃辣的人 1 个胃疼（不吃辣组的 odds = 1/99）。OR $= (5/95) / (1/99) \approx 5.21$。回想 RR：$\mathrm{RR} = (5/100) / (1/100) = 5$。OR 比 RR 略大一点，原因是事件率不为零，吃辣组的分母从 100 缩到 95（少了 5），不吃辣组的分母从 100 缩到 99（只少 1），分母收缩不对称把 OR 推得比 RR 更远离 1。

OR 与 RR 在罕见事件下接近。事件率低时 $p / (1 - p) \approx p$，OR 与 RR 数值接近。BCG 数据里大多数研究的结核发病率都在百分之几以下，所以 OR 与 RR 应该非常接近。在 dat.bcg 上跑一遍验证：

library(metafor)
d <- read.csv("data/bcg.csv")

# 一次性算 RR 和 OR
es_rr <- escalc(measure = "RR", ai = tpos, bi = tneg,
                ci = cpos, di = cneg, data = d)
es_or <- escalc(measure = "OR", ai = tpos, bi = tneg,
                ci = cpos, di = cneg, data = d)

# 取指数变回原尺度，对比 RR 和 OR
data.frame(
  trial    = d$trial,
  author   = d$author,
  RR       = round(exp(es_rr$yi), 3),
  OR       = round(exp(es_or$yi), 3),
  diff_pct = round((exp(es_or$yi) - exp(es_rr$yi)) /
                    exp(es_rr$yi) * 100, 1)
)

13 项研究里多数 OR 与 RR 的偏差在 5% 以内。偏差最大的两项是 Stein & Aronson 1953（$\mathrm{OR} = 0.384$，$\mathrm{RR} = 0.456$，OR 比 RR 小约 16%）和 Ferguson & Simes 1949（$\mathrm{OR} = 0.189$，$\mathrm{RR} = 0.205$，OR 比 RR 小约 8%）。这两项研究事件率较高：Stein & Aronson 1953 对照组结核发病率约 25.6%（372/1451），处理组也有 11.7%（180/1541），事件率离”罕见”已经很远，OR 比 RR 偏离零的距离更明显。其余 11 项研究事件率都在 1%–6%，OR 与 RR 几乎重合。

3.4 风险差 RD

RR 与 OR 都是相对效应量，回答”风险是几倍”的问题。临床决策很多时候需要的是绝对效应量，回答”打疫苗能少多少人发病”的问题。这就是风险差（risk difference，简称 RD）。

继续吃辣的例子：100 个吃辣的人 5 个胃疼，100 个不吃辣的人 1 个胃疼。$\mathrm{RD} = 5 / 100 - 1 / 100 = 4$ 个百分点。意思是吃辣比不吃辣绝对增加了 4% 的胃疼风险。如果一个医院每天 1000 个人吃辣，每天就多出 40 个胃疼患者。RD 的好处是它能直接翻译成”打多少人能预防一例发病”，这个倒数叫做 NNT（number needed to treat），临床决策最关心的指标。

RD 与 RR / OR 有一个根本不同：RD 不需要取对数。RR 与 OR 是比值，原尺度上保护和有害不对称，必须取对数才能让正负效应对称合并。RD 是差值，原尺度上 $-0.05$ 与 $+0.05$ 已经天然对称，直接合并即可。

把 Aronson 1948 代入 RD 公式：$p_t = 4 / 123 = 0.0325$，$p_c = 11 / 139 = 0.0791$，$\mathrm{RD} = 0.0325 - 0.0791 = -0.0466$。意思是接种 BCG 比不接种绝对降低了约 4.66 个百分点的发病风险。

回到 BCG 数据。13 项研究的 RD 跨度从 $-0.140$（Stein & Aronson 1953）到 $+0.0007$（Comstock & Webster 1969）。Stein & Aronson 的 RD 含义是：每 100 人接种 BCG，比不接种少 14 人发生结核 —— 这是绝对意义上巨大的预防效应。Hart & Sutherland 1977 的 RD 是 $-0.0147$（每 100 人少 1.47 人发生结核），RR $= 0.24$ 看起来效果很大，但绝对差小得多，因为这项研究对照组基线发病率本来就只有 1.93%。这说明同一项研究 RR 看起来效果很大、RD 看起来效果很小，是基线风险低的直接结果。

3.5 escalc 函数：一站式计算

前面演示了 escalc() 计算 RR 和 OR。它支持的 measure 选项覆盖了 meta 分析常用的所有效应量。

escalc() 返回一个数据框，包含 yi（效应量估计）和 vi（方差估计）两列。这两列是后续所有 meta 分析函数（rma()、rma.mv()）的标准输入。本书 BCG 数据是二分类结局，所有合并都用 measure = "RR"。

完整运行版本见 code/chap03.R 。

3.6 本章小结

每项研究的 $\hat{y}_i$ 与 $v_i$ 是合并的输入。第 4 章用这两个数字按”方差越小、发言权越大”的逆方差加权，把 13 项研究合并成一个全局估计 $\mathrm{RR} = 0.65$。但 13 项研究的方差极不平衡，最大的 TPT Madras 一项就占 41% 权重，前 4 项合计占 86%，结论仍然被少数大研究主导，异质性指标 $I^2 = 92\%$ 也直接证伪 FE 模型的核心假设。这是第 4 章的主要发现，也是引出第 5 章随机效应模型的起点。